挨个数 20 个顶点、30 条棱，最容易漏数。快的方法是「整乘再整除」——先故意多数，再把重复的次数除掉：
设每个面是 n 边形、每个顶点处有 m 个面，则 E = nF2，V = nFm（小图也可以拖动）：
| 立体图 | 名称 | 每面边数 n | 每顶点面数 m | 面数 F | 棱数 E | 顶点数 V | V−E+F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | 2 | |
| 正六面体（立方体） | 4 | 3 | 6 | 12 | 8 | 2 | |
| 正八面体 | 3 | 4 | 8 | 12 | 6 | 2 | |
| 正十二面体 | 5 | 3 | 12 | 30 | 20 | 2 | |
| 正二十面体 | 3 | 5 | 20 | 30 | 12 | 2 |
注意最后两行：正十二面体与正二十面体的 V、F 恰好互换（20↔12），棱数同为 30——它们互为对偶多面体（把一个的面中心连起来，就得到另一个）。为什么正多面体只有这 5 种？答案在文末彩蛋。
两招配合的完整流程：先由各个面算出 E（招式 A），再由 E、F 反出 V（招式 B）——顶点一个都不用挨个数。
足球表面由 12 块正五边形皮 + 20 块正六边形皮缝成：
验算 60 − 90 + 32 = 2 ✓。这 60 个顶点正是 C60「足球烯」分子的 60 个原子（1996 年诺贝尔化学奖）。
| 面数 F | 顶点 V | 棱 E | 代回欧拉公式 | |
|---|---|---|---|---|
| n 棱柱 | n + 2 | 2n | 3n | 2n − 3n + (n+2) = 2 ✓ |
| n 棱锥 | n + 1 | n + 1 | 2n | (n+1) − 2n + (n+1) = 2 ✓ |
例：五棱柱 F=7、V=10、E=15；四棱锥 F=5、V=5、E=8。
以立方体为例（其他多面体同理）：
第 1 步 · 摊平：把表面想象成橡皮膜，挖掉一个面（比如顶面），剩下的摊平在桌面上，得到一张平面连线图。点还是 V 个、线还是 E 条；原来的 F 个面 = 摊平后的 F 块区域（被挖掉的面变成了最外面的无穷大区域，正好补位）。
第 2 步 · 铺水管（生成树）：从 1 个点出发，每次接 1 条线、圈进 1 个新点，把 V 个点全部连通、又不围出任何圈——恰好需要 V − 1 条线。此时整张平面仍是 1 块区域：
V − (V−1) + 1 = 2 ✓
第 3 步 · 补线：把剩下的 E − (V−1) 条线一条条补回去。补的线两端早已连通，一补上必然围出一块新区域——每补 1 条，E 和 F 同时 +1，所以 V − E + F 纹丝不动，始终是 2。补完时区域数 F = 1 + [E − (V−1)] = E − V + 2，整理即 V − E + F = 2。∎
设每个面是 n 边形、每个顶点处 m 个面。把 E = nF2、V = nFm 代入欧拉公式并整理：
F · (2n + 2m − nm) = 4m ⟹ (n−2)(m−2) < 4
又因为面至少 3 条边（n ≥ 3）、每个顶点至少 3 条棱（m ≥ 3），枚举只剩 5 组：(3,3)、(4,3)、(3,4)、(5,3)、(3,5)——正是上表那五种。柏拉图立体到此「封顶」。
若表面有贯通的洞（像相框、甜甜圈），公式变为 V − E + F = 2 − 2g（g = 洞数）。有 1 个贯通洞时结果恰为 0。
这说明欧拉公式的右边只取决于「表面的连接方式像球还是像甜甜圈」，与棱长、角度完全无关——研究这种「连接方式」的学问就是拓扑学。这个公式可追溯到欧拉 1750 年前后的工作（更早的笛卡尔手稿里已有类似想法），被公认为拓扑学的第一个定理。